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By Gert Böhme
Analysis 2 behandelt den "klassischen" Stoff in der Weise, wie ihn der Anwender, der Ingenieur, Informatiker oder Wirtschaftswissenschaftler im Beruf benötigt: - Integralrechnung - Unendliche Reihen (speziell Fourier-Reihen) - Gewöhnliche Differentialrechnungen (einschließlich Laplace-Transformation) Das Maß der Abstraktion ist bewußt gering gehalten. Methodische und anschauliche Beschreibungen erleichtern den Zugang ebenso wie Übungsaufgaben mit vollständigen Lösungen. Das Lehrbuch basiert auf den langjährigen Lehrerfahrungen des Autors und zeichnet sich insbesondere durch sein anwendungsorientiertes und breit angelegtes Konzept aus. Dieser Band will in erster Linie dem Studienanfänger helfen, den Übergang von der Schul- zur Hochschulmathematik erfolgreich zu bewältigen.
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Eine Partialbruchzerlegung entfallt demnach, der Integrand wird lediglich vom Zahler her so in zwei (gleichnamige) Bruche aufgespalten, daB beim erst en Bruch der Zahler die A bleitung des Nenners wird: S (6x - l1)dx = 3ln(x 2 - 8x + 25) + (x - 4) 2 + 9 ~3 Arc tan x 34 +K • 1. Integralrechnung 44 Selbstverstandlich kann man auch unmittelbar mit A=6, B=-11, 0'=4, 13=3 in die oben eingerahmte Formel eingehen und damit das Ergebnis ohne Zwischenrechnung erhalten. 2. f 2 (x (2x -/)dx + 1) (x - 2x + 4) = ?
Dividiert man die Ungleichung auf allen Seiten durch das Inkrement h, so wird f(x) < I(x + h~ - I(x) < f(x + h) • In der Mitte steht jetzt der Differenzenquotient der Inhaltsfunktion I(x). LaBt man h gegen Null streben, so gilt auf Grund der Stetigkeit von f(x) lim f(x) = f(x) h-+O lim f(x + h) h"'O = f(x) und mit ltm I(x + h) - I(x) h... h. es ist f b I = f(x)dx. a Bemerkungen und Erganzungen 1. :;; b stetige Funktionen erweitert werden, sofern f(x) dort keine reellen Nullstellen hat.
Siitze tiber Integrationsgrenzen: Ftir die Grenzen des bestimmten Integrals gel ten einige wichtige Siitze, die im folgenden erliiutert seien. 2) Bedeutung erlangen. Satz Vertauscht man die Integrationsgrenzen, so iindert der In- tegralwert sein Vorzeichen: a b f f f(x)dx = - a Beweis: 1st f f(x)dx b b f(x)dx = F (b) - F(a) , a so ergibt sich fur a f f b f(x)dx = F(a) - F(b) -[F(b)-F(a)J=- b f(x)dx. a Schreibt man beide Integrale auf eine Seite, so kann die Gleichung f a b f(x)dx + a f f(x)dx =0 b wie folgt verstanden werden: Integriert man zuerst von a nach b und anschlieBend von b nach a, also auf der x-Achse die Strecke a b einmal hin und zurtick, so ist fUr diesen geschlossenen Integrationsweg der Wert des Integrals gleich Null (Abb.