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By Hans-Jürgen Reinhardt

Sie suchen Übungen zur Klausurvorbereitung, fabric für Tutorien oder Beispiele für eine Vorlesung zur weiterführenden research? In diesem umfangreichen Buch finden Sie eine Vielzahl verschiedener Aufgaben - von abstrakten Beweisen über theoretische und angewandte Beispiele hin zu konkreten Berechnungen. Zur Überprüfung der eigenen Arbeit gibt es ausführliche Lösungen zu jeder Aufgabe.Somit ist das vorliegende Werk das ideale Begleitbuch sowohl für Studierende als auch für Dozenten der Mathematik. Die Zusammenstellung von Übungsaufgaben entstand während der entsprechenden Vorlesungen des Autors an der Universität Siegen in den Jahren 1993 bis 2013.

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B V . Wir haben nun noch zu zeigen, dass U \ V D ;. Nehmen wir an, es gäbe einen gemeinsamen Punkt z von U und V . y; A/; womit die Behauptung bewiesen ist. : Die Aussage dieser Aufgabe heißt auch das Tietz’sche Trennungsaxiom. Topologische Räume, in denen das Tietz’sche Trennungsaxiom gilt und in denen jede endliche Menge abgeschlossen ist, heißen normal. Teilräume eines normalen topologischen Raumes sind im Allgemeinen nicht wieder normal. Ist dies jedoch der Fall, so heißt der Raum vollständig normal.

Hinweis: Sie können in b) benutzen, dass f1; t; : : :; t n g ein System linear unabhängiger Funktionen ist. ˛a0 C ˇb0 /m0 C D ˛ a 0 m0 C n X ai i i D1 n X ˛ai C ˇbi mi i i D1 ! mi C ˇ b0 m 0 C n X bi i D1 i ! mi D ˛Tp C ˇT q: Stetigkeit: Es ist kTp T qk D max ja0 Ä max jai 0Äi Än ˇ ˇ ˇ a i bi ˇ ˇ; i D 1; : : : ; n ˇ b0 j; ˇ i ˇ bi j D kp qk: Daraus folgt sofort die Stetigkeit von T . b) Wir zeigen nun, dass T bijektiv ist. Injektivität: Da T linear ist, genügt es zu zeigen, dass Tp D 0 bereits p D 0 impliziert.

Lösung Z. : yn ! yn / ! n ! 1/ Sei also yn ! n ! 1/ für beliebige y; yn 2 Y; n 2 N. yn /; n 2 N. Da X nach Voraussetzung kompakt ist, hat man 8N 0 N 9N 00 N0 und 9xQ 2 X W xn ! n !

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