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1 + (l-A)~» QED 48 Korollar: Ist f(,¥) monoton nicht abnehmend in jeder y- Komponente und konkav und ist l = g(~) ein System von konkaven Funktionen auf einer konvexen Menge C, dann ist f( g(~)) konkav auf der konvexen Menge C. Beweis: U( g(~1) + (1 - A)f( g(~)) ~ f(Ag(~1) + (1 - A)g(~)) ~ ~ f(g(A~1 + (1- A)~2)) . QED Korollar: Ist f(l) eine monoton nicht zunehmende Funktion in jeder y - Komponente und konvex (konkav) und ist l = g(~) ein System von konkaven (konvexen) Funktionen auf der konvexen Menge C, dann ist f(g(~)) konvex (konkav) auf der Menge C.

4 Homothetische Fynktionen 1st h(x 1,x 2 , ••. m g(z} ="" dann heiBt z ...... 39 homothetisch. [Nach R. Shephard, Vgl. Eichhorn, S. 1 Man sagt, daB eine homothetische Produktionsfunktion zunehmende > konstante } Skalenertrage hat, je nachdem ~ { abnehmende < =} 1. Die Skalenertrage richten sich also nach der Elastizitat von g. FUr homogene Produktionsfunktionen gilt: > FUr r { = } 1 sind die Skalenertrage < { zunehmend } konstant abnehmend Bei einer homothetischen Produktionsfunktion ist Differenziert man nach A und setzt dann A = 1, so ergibt sich g'·r Xihi = g'h • 1 Mit der Elastizitat - auch Ergiebigkeitsgrad der Produktionsfunktion genannt (E.

X Abb. 7 44 Definition: Eine Funktion f des Rn heiSt (streng) konkav, wenn -f (streng) konvex ist. Eine konvexe Funktion liegt also nie Uber der Sehne, eine konkave Funktion nie unter der Sehne zwischen irgendwelchen Punktepaaren. Alle Ergebnisse fUr konkave Funktionen kann man durch Multiplikation mit -1 aus denjenigen fur konvexe Funktionen erhalten. ) = ax + ~ ist ,zugleich konvex und konkav im Rn , da (1) immer in Gleichungsform erfUllt ist. fist aber nicht streng konvex. 211 2 . Satz: Eine quadratische Funktion (3) x'Ax ist konvex, wenn die Matrix konvex, wenn ~ ~ positiv semi - definit ist.